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Resumen
Exposicion de algunos trabajos del autor sobre integrales singulares e hipersingulares, publicados entre 1953 y 1987, completada con resultados nuevos, observaciones sobre contribuciones de otros matematicos, simplificaciones y algunas correcciones.
Palabras clave: Operadores integrales singulares, transformada de Hilbert, distribuciones, convolucion de distribuciones.
Abstract
Exposition of some works of the author on singular and hypersingular integrals, published between 1953 and 1987, complemented with new results, and remarks on contributions by other mathematicians, simplifications, and some amendments.
Key words: Singular integral operators, Hilbert transforms, distributions, convolution of distributions.
1.
Mi intencion es dar en estas paginas un resumen de algunos de mis trabajos sobre integrales singulares e hipersingulares, publicados entre 1953 y 1987, completandolo con algunos resultados nuevos, observaciones sobre las contribuciones de mis colaboradores y de otros matematicos, simplificaciones de varias demostraciones y correcciones de errores.
Si bien me acuerdo, fue alrededor de 1948 que Jean Leray me hablo de Georges Giraud y de sus trabajos sobre ecuaciones integrales con valores principales. Me dijo que valdria la pena estudiar estos trabajos porque habia mucho que hacer. Yo no segui inmediatamente este consejo y fue solo en 1955 que me interese por las investigaciones de Giraud, de manera que hablare de el mas abajo en la seccion 11.
Marcel Riesz fue quien me dio el impulso para ocuparme con integrales singulares. El estuvo en Paris en el verano de 1949 y una segunda vez al principio de 1951. Ya con ocasion de su primera visita menciono que tenia una idea de como se podria generalizar la transformada de Hilbert a varias variables, y el 12 de febrero de 1951, durante un almuerzo me explico de que se trataba.
Antes de contar lo que Marcel Riesz me dijo durante aquel almuerzo, tengo que recordar los conceptos de funcion conjugada y transformada de Hilbert. Sea [gulden] una funcion integrable en el sentido de Lebesgue en el intervalo [-[pi], [pi]] (o bien una funcion localmente integrable, periodica sobre la recta R, con periodo 2[pi]). Su serie de Fourier
S([theta) ~ [a.sub.0]/2 + [[infinito].[suma de](k=1)]([a.sub.k] cos k[theta] + [b.sub.k] sin k[theta])
con coeficientes
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determina completamente (es decir en casi todos los puntos) la funcion [gulden], aunque no es necesariamente convergente (maximalidad del sistema trigonometrico). Consideremos ahora la serie de potencias
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donde z = [re.sup.i[theta]. Si ponemos [[gamma].sub.k] = [[alpha].sub.k] + [i[beta].sub.k], obtenemos
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Por lo tanto, se define la serie conjugada de S([theta]) por
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Cuando esta serie converge, su suma se llama la funcion conjugada [??] de f. Si por ejemplo f [elemento de] [L.sup.2], entonces [suma][[valor absoluto de [a.sub.k]].sup.2] [[valor absoluto de [b.sub.k]].sup.2] < [infinito] y por consiguiente [??] converge hacia la funcion [??] [elemento de] [L.sup.2]. Se tiene
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y se comprueba utilizando la parte imaginaria de la progresion geometrica [[suma].sup.n.sub.1] [e.sup.ikt] que
[n.[suma de](k=1)] sin kt = cos t/2 - cos (n + 1/2)t/2 sin t/2
Esta expresion se simplifica si restamos la mitad del ultimo termino de la suma:
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Asi la n-esima suma parcial modificada de [??] es
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y la funcion conjugada, si existe, esta dada por el valor principal de Cauchy:
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (1)
2.
Otro camino para llegar a la expresion (1) de la funcion conjugada es la sumacion de Abel de la serie de Fourier. Para esto es preferible servirse de la forma compleja de la serie y escribir
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],
donde
[c.sub.k] = 1/2[pi][[integral].sup.[pi].sub.-[pi]] f(t)[e.sup.-ikt] dt,
es decir [a.sub.k] = [c.sub.k] + [c.sub.-k], [b.sub.k] = i([c.sub.k] - [c.sub.-k]), o sea [c.sub.k] = l/2 ([a.sub.k]-[ib.sub.k]) para k [mayor que o igual a] y [c.sub.-k] = [[bara.c].sub.k]. Poniendo z = [re.sup.i[theta], la serie
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converge para r < 1, ya que por el lema de Riemann los coeficientes [c.sub.k] tienden a cero, ademas u es una funcion armonica en [valor absoluto de z] < 1. La formula para la suma de la serie geometrica da
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],
y por lo tanto
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Reemplazando el valor de [c.sub.k] en la serie que define u([re.sup.i[theta]]) se tiene
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desde luego obtenemos para la suma de Abel de la serie S([theta]) la expresion
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La expresion a la derecha es la integral de Poisson de la funcion f.
A hora bien,
====== T 1 + [re.sup.it]/1 - [re.sup.it] = 2r sin t/1 - 2r cos t + [r.sup.2],
y por lo tanto la funcion armonica conjugada de u(z) es
v([re.sup.i[theta]) = 1/[pi] [[integral].sup.[pi].sub.-[pi]] f(t)r sin ([theta] - t)/1 - 2r cos ([theta] - t) + [r.sup.2] dt,
donde a la derecha tenemos la integral conjugada de Poisson de f. Observemos que cuando r [flecha diestra] 1, la integral v([re.sup.i[theta]) tiende formalmente a
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
es decir a la integral cuyo valor principal define [??]([theta]) en (1), ya que
sin t/ 1 - cos t = 2 sin (t/2) cos (t/2)/2 [sin.sup.2] (t/2) = 1/tan(t/2).
3.
Seria facil demostrar ahora el teorema de A. Plessner [67] segun cual si f [elemento de] [L.sup.2], entonces [??] existe, pertenece a [L.sup.2] y se tiene [[paralelo] f [paralelo].sub.2] = [[paralelo][??][paralelo].sub.2]. Sin embargo prefiero hacer esto en el caso analogo, casi identico, en que f es una funcion definida sobre la recta R en vez del "toro" porque las formulas son mas sencillas. Sea pues f una funcion medible sobre R tal que [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1] f es integrable. Su integral de Poisson
u(x,y) = 1/[pi] [[integral].sub.R] f(t) y/[(x - t).sup.2] + [y.sup.2]dt
resuelve el problema de Dirichlet para el semiplano superior, es decir u(x, y) es armonico para x [elemento de] R, y > y el limite de u(x, y) es f(x) para casi todo x [elemento de] R cuando y [flecha diestra] 0+, como lo veremos mas abajo. La funcion u(x, y) es la convolucion con respecto a la variable x de la funcion f y del nucleo de Poisson [P.sub.y](x) = 1/[pi] y/[x.sup.2] + [y.sup.2].
Ahora bien para z = x + iy [elemento de] C se tiene
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
Por consiguiente el nucleo conjugado de Poisson se define como [Q.sub.y](x) = 1/[pi] x/[x.sup.2] + [y.sup.2], y la integral conjugada de Poisson de f es
v(x,y) = [Q.sub.y] * f (x) = 1/[pi] [[integral].sub.R] f(t) x-t/[(x -t).sup.2] + [y.sup.2] dt,
la cual tiende cuando y [flecha diestra] 0+ hacia la integral (en general divergente
1/[pi] [[integral].sub.R] f(t) dt/x - t.
La funcion conjugada (o transformada de Hilbert) de f se define por el valor principal
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Marcel Riesz me explico una vez que esta transformacion lleva el nombre de Hilbert por la razon de que el considero en su curso sobre ecuaciones integrales el analogo discreto: sea a = ([a.sub.k]) [elemento de] [l.sup.2], es decir [paralelo]a[[paralelo].sup.2.sub.2] = [suma][[valor absoluto de [a.sub.k]].sup.2] < [infinito], y pongamos [b.sub.j] = [[suma].sub.k] [a.sub.k]/j + k. Hilbert demostro que b = ([b.sub.j]) [elemento de] [l.sup.2] y se tiene [[paralelo]b[[paralelo].sub.2] [menor que o igual a] [pi][paralelo] a [[paralelo].sub.2] ([20, pag. 226]). Quiero demostrar el analogo del teorema de Plessner:
Teorema. Si f [elemento de] [L.sup.2](R) entonces [??] existe en casi todas partes, pertenece a [L.sup.2](R) y [[paralelo]f[[paralelo].sub.2] = [[paralelo][??][[paralelo].sub.2].
Reproducire la demostracion que se encuentra en el libro de Titchmarsh ([96], 5.3, Theorem 91, pag. 122), la cual utilice para generalizar el teorema a varias variables. Desgraciadamente la referencia a Titchmarsh se omitio accidentalmente en [28].
Lema 1. Sea f una funcion medible sobre R tal que [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1] f(x) es integrable. Entonces para casi todo x [elemento de] R se tiene u(x, y) = [P.sub.y] * f(x) [flecha diestra] f(x) cuando y [flecha diestra] 0+.
Demostracion. Observemos ante todo que segun un teorema de Lebesgue ([106, II.(11.1), pag. 65]) para casi todo x [elemento de] R se tiene
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (2)
Ya que
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],
podemos escribir
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Partimos la integral en tres: [I.sub.1], [I.sub.2], [I.sub.3] correspondientes a los conjuntos de integracion [valor absoluto de x - t] [menor que o igual a] y, y 1 y suponemos que para x se cumple la condicion (2) de Lebesgue.
Se tiene
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
y esta expresion en virtud de (2) tiende a cero cuando y [flecha diestra] 0+.
Para tratar [I.sub.2] introduzcamos la funcion
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Entonces
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Ahora bien,
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
cuando y [flecha diestra] 0+. Por otra parte
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Puesto que [fi]([rho])/[rho] [menor que o igual a] [epsilon] si [rho] es suficientemente pequeno, se tiene
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Sea [fi]([rho])/[rho] [menor que o igual a] M. Entonces
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Luego [I.sub.2] [flecha diestra] cuando y [flecha diestra] 0+. Finalmente
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
cuando y [flecha diestra] 0+, con lo cual el lema queda demostrado.
Lema 2 ([96, Theorem 92, pag. 124]). Sea f una funcion medible sobre R tal que [(1 + [[valor absoluto de x].sup.2]).sup.-1] f(x) sea integrable. Entonces para casi todo x [elemento de] R se tiene
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
cuando y [flecha diestra] 0+.
Demostracion. Descompongamos la diferencia en dos integrales [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
Observemos de una vez que para < a < b tenemos
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
porque las funciones a integrar toman valores opuestos en puntos simetricos con respecto a x. Entonces
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
cuando y [flecha diestra] 0+. Por otro lado
x - t/[(x - t).sup.2] + [y.sup.2] - 1/x -t = [-y.sup.2]/(x - t)([(x -t).sup.2] + [y.sup.2]
y, por consiguiente,
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII],
donde hemos usado la notacion utilizada en la demostracion del Lema 1. Se ve similarmente como en aquella demostracion que la ultima cantidad tiende a cero cuando y [flecha diestra] 0+. Finalmente tenemos que
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
cuando y [flecha diestra] 0+.
La idea de introducir la funcion [fi]([rho]) e integrar por partes me fue sugerida por Marcel Riesz quien tenia gran experiencia en este tipo de computos por haber investigado la sumacion de series de Fourier ([71]; [74, No. 25, pags. 104-113]; [106, III.5]).
4.
Para continuar la demostracion del Teorema, necesito recordar algunos hechos del analisis de Fourier. Considerare funciones definidas sobre la recta real R, pero todo es casi lo mismo sobre [R.sup.n], o sobre el toro T = R/Z, o mas generalmente sobre un grupo conmutativo localmente compacto [40], [76], [92].
Sea p un numero real, p [mayor que o igual a] 1. Por [L.sup.p] = [L.sup.p](R) denotaremos el espacio vectorial de las funciones f definidas sobre R que son medibles (en el sentido de Lebesgue) y tales que [[valor absoluto de f].sup.p] es integrable. En verdad no son las funciones mismas los elementos de [L.sup.p], sino las clases de funciones, considerando equivalentes dos funciones cuando toman el mismo valor con la excepcion posible de un conjunto de medida cero (es decir, cuando son iguales en casi todas partes). La expresion [[paralelo]f[paralelo].sub.p] = [([integral].sub.R][[valor absoluto de f(x)].sup.p] dx).sup.1/p] es una verdadera norma sobre [L.sup.p]: si [[paralelo]f[paralelo].sub.p] = 0, entonces f es el elemento 0.
La primera cosa a senalar es la desigualdad de Holder: Si f [elemento de] [L.sup.p],g [elemento de] [L.sup.q] y los exponentes satisfacen a 1/p + 1/q = 1, entonces f g [elemento de] [L.sup.1] y [[paralelo]fg[paralelo].sub.1] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.p][[paralelo]g[paralelo].sub.q]. La desigualdad vale tambien para p = 1 y q = [infinito], donde [L.sup.[infinito]] denota el espacio de las (clases de) funciones acotadas y medibles y [paralelo]g[[paralelo].sub.[infinito]] es el extremo inferior de los numeros M tales que [valor absoluto de g(x)] [menor que o igual a] M para casi todo x [elemento de] R. Si p = q = 2, la desigualdad lleva el nombre de H. A. Schwarz (sin la letra t). La generalizacion siguiente es inmediata: si f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q] y 1/p + 1/q = 1/r [menor que o igual a] 1, entonces fg [elemento de] [L.sup.r] y [[paralelo]fg[paralelo].sub.r] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.p][[paralelo]g[paralelo].sub.q]. En efecto
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].
La transformada (o integral) de Fourier F f = [??] de una funcion f [elemento de] [L.sup.1](R) se define por
F f([xi]) = [??]([xi]) = [[integral].sub.R] f(x)[e.sup.2[pi]ix[xi]] dx.
Obviamente [??] [elemento de] L[infinito] (R) y [[paralelo][??][paralelo][infinito] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.1]. Ademas [??] es continua por una aplicacion directa del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. De hecho, si [xi] [flecha diestra] [alfa], entonces f(x)[e.sup.-2[pi]ix[xi]] [flecha diestra] f(x)[e.sup.-2[pi]ix[alfa] y [valor absoluto de f(x)[e.sup.-2[pi]ix[xi]] [menor que o igual a] [valor f(x)], luego [??]([xi]) [flecha diestra] [??] ([alpha]). Analogamente al Lema de Riemann en la teoria de las series de Fourier, [??]([xi]) tiende a cero cuando [valor absoluto de [xi]] [flecha diestra] [infinito].
La transformada conjugada de Fourier se define por
[bara.F]g(xi] = [[integral].sub.R] g(x)[e.sup.e[pi]ix[xi]] dx.
Si [??] pertenece tambien a [L.sup.1], entonces vale la relacion de reciprocidad
[bara.F] F f(x) = [[integral].sub.R] [??]([xi])[e.sup.e[pi]i[xi]x] d[xi] = f(x).
En general [??] no es integrable, de manera que para obtener f a partir de [??] se necesita algun metodo de sumacion, por ejemplo el de Cesaro:
[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
([40, VI, 1.11, pag. 125]).
Sea ahora 1 k. Entonces los elementos F [f.sub.k] pertenecen a [L.sup.p'] y cuando k [flecha diestra] [infinito] tienden hacia un elemento de [L.sup.p'] en el sentido de la norma, este elemento es por definicion F f = [??] [elemento de] [L.sup.p']. Se tiene [[paralelo][??][paralelo].sub.p] [menor que o igual a] [[paralelo]f[paralelo].sub.p]: desigualdad de Hausdorff--Young ([40, pag. 142]; [92, V, [seccion]1, pag. 178]; [96, Chap.IV, pag. 96]). En particular para p = p' = 2 la aplicacion f [flecha diestra] F f es un isomorfismo isometrico de [L.sup.2] sobre si mismo, es decir [[paralelo][??][paralelo].sub.2] = [[paralelo]f[paralelo].sub.2] (Teorema de Parseval-Plancherel).
La convolucion de dos funciones integrables f y g se define por
f * g(x) = [[integral].sub.R] f(x - y)g(y)dy.
Puesto que
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se tiene [paralelo]f * g[[paralelo].sub.1] [[paralelo]f[paralelo].sub.1][[paralelo]g[paralelo].sub.1]. Mas generalmente, si 1/p + 1/q [mayor que o igual a] 1, f [elemento de] [L.sup.p], g [elemento de] [L.sup.q], entonces se puede definir f * g que pertenecera a [L.sup.r] con 1/r = 1/p + 1/q - 1 y satisface a [paralelo]f * g[[paralelo].sub.r] [menor que o igual a] [paralelo]f[paralelo][[paralelo].sub.g][[paralelo].sub.q] (desigualdad de Young, [92, pag. 178]).
Formalmente se tiene
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es decir
F(f * g) = F(f) x Fg
([96, pag. 51]). Esta...
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