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COPYRIGHT 2003 UNAM, Instituto de Investigaciones Filosoficas
RESUMEN: El propósito del presente artículo es evaluar en qué sentido y bajo qué condiciones la ergodicidad es relevante para explicar el éxito de la mecánica estadística. Se objeta la posición de quienes sostienen que la ergodicidad es irrelevante para tal explicación, y se señala que las propiedades ergódicas desempeñan diferentes papeles en la mecánica estadística del equilibrio y en la descripción de la evolución hacia el equilibrio: es posible prescindir de la ergodicidad en el primer caso pero no en el segundo. Sobre esta base, se reformularán las definiciones de ergodicidad y mezcla, relativizándolas a la macrovariable particular cuya evolución irreversible se desea describir. Finalmente, se enfatiza la importancia de tomar en cuenta la elaboración de modelos para evaluar la utilización de los métodos de Gibbs.
PALABRAS CLAVE: irreversibilidad, Boltzmann, Gibbs, modelos
1. Introducción
Aún hoy, la mecánica estadística continúa generando profundos debates respecto de sus fundamentos teóricos. En este ámbito, uno de los problemas centrales consiste en justificar la introducción de probabilidades en un contexto clásico determinista. Precisamente para dar respuesta a este problema, Ludwig Boltzmann introdujo en 1871 la llamada "hipótesis ergódica", según la cual un sistema aislado recorre, en su evolución, todos los estados compatibles con su energía: en un sistema ergódico, cualquier punto representativo de su estado en el espacio de las fases pasa, a lo largo del tiempo, por todos los puntos de la hipersuperficie de energía constante. La idea es que, dado que en un sistema ergódico el punto representativo no queda "atrapado" en ninguna subregión de la hipersuperficie de energía constante sino que recorre toda su extensión, todos los puntos de dicha hipersuperficie son igualmente probables. De este modo, Boltzmann intentaba brindar una justificación dinámica de la equiprobabilidad sobre la región del espacio de las fases accesible al sistema.
Hoy se sabe que, por consideraciones dimensionales, la hipótesis ergódica en su formulación original no puede ser verdadera: dado que cualquier trayectoria en el espacio de las fases es unidimensional, no puede "cubrir" la hipersuperficie de energía constante cuya dimensión es superior a uno. No obstante, la idea implícita en el supuesto de Boltzmann puede conservarse mediante la hipótesis cuasiergódica que reemplaza la exigencia de que el punto representativo pase por todos los puntos de la hipersuperficie de energía constante por la exigencia de que pase por toda subregión de volumen finito incluida en la hipersuperficie de energía constante, y aclarando que la condición se cumple para los puntos pertenecientes a casi toda subregión de tal hipersuperficie excepto las subregiones de medida nula. De este modo se cumple que el punto representativo no permanezca atrapado en ninguna subregión de la hipersuperficie de energía constante, evitando la condición demasiado exigente de que pase por todos sus puntos a lo largo del tiempo.
En 1901, Josiah Willard Gibbs presentó un enfoque elegante y sistemático de la mecánica estadística que permitía derivar las relaciones entre variables termodinámicas a partir de las leyes dinámicas fundamentales sin introducir supuestos acerca de los detalles de las interacciones intermoleculares. Por su sencillez y elegancia, la formulación de Gibbs se convirtió con el tiempo en la herramienta teórica estándar en la mecánica estadística, cuya fecundidad en el tratamiento de problemas típicos de este ámbito es difícilmente cuestionable; en particular, el cálculo de los valores de equilibrio de las variables macroscópicas termodinámicas como promedios sobre el ensemble representativo es una estrategia de la cual ningún físico prescinde. Además de su función teórica original, en el enfoque gibbsiano la ergodicidad adquiere un nuevo papel al intervenir en la explicación de la evolución de los sistemas hacia el equilibrio termodinámico.
En la actualidad, la teoría ergódica se ha convertido en una teoría matemática que estudia las propiedades de los sistemas dinámicos desde una perspectiva exclusivamente formal. Sus resultados han permitido volver a analizar, con herramientas teórico-formales más precisas, el papel que cumple la ergodicidad en los fundamentos de la mecánica estadística. A la luz de estos resultados, durante las últimas décadas diversos autores comenzaron a cuestionar la relevancia explicativa que se asignaba a la ergodicidad desde la perspectiva tradicional. Este artículo se inserta en este contexto de discusión; su principal objetivo consiste en esclarecer en qué sentido y bajo qué restricciones la ergodicidad cumple un papel explicativo del éxito de la mecánica estadística de Gibbs. Para ello será necesario comenzar recordando los aspectos teóricos sobre los cuales se fundamenta la formulación gibbsiana pues, en algunos casos, el olvido de ciertas cuestiones básicas conduce a problemas conceptuales aparentemente irresolubles.
2. Mecánica y termodinámica
La mecánica estadística surge cuando se intenta explicar la termodinámica macroscópica en términos mecánicos microscópicos, bajo el supuesto de que las regularidades macroscópicas son resultado de las regularidades que rigen los componentes microscópicos de un sistema. Por lo tanto, cuando en este contexto se habla del sistema termodinámico y del sistema mecánico, no se alude a dos entidades independientes; por el contrario, se trata de un único sistema bajo diferentes descripciones: como un sistema termodinámico [S.sup.T] o como un sistema mecánico [S.sup.M]. A fin de simplificar la discusión, me concentraré en sistemas aislados, esto es, sistemas que no intercambian materia ni energía con el medio.
2.1. Descripción mecánica
Sea [S.sup.M] un sistema mecánico aislado que, por tanto, conserva su energía mecánica [E.sub.M] constante a través del tiempo. Si [S.sup.M] está compuesto por N subsistemas idénticos, cada uno de los cuales posee n grados de libertad (traslacional, rotacional, etc.), su estado queda determinado por el valor de 2nN variables. Llamando [q.sub.i] a las coordenadas generalizadas y [p.sub.i] a los momentos cinéticos generalizados de cada subsistema, el estado mecánico instantáneo m(t) del sistema [S.sup.M] (microestado mecánico) queda definido por el valor de las 2nN variables de estado:
m(t) = ([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) = ([q.sub.i](t), [q.sub.2](t), ..., [q.sub.nN](t), [p.sub.1](t), [p.sub.2](t), ..., [p.sub.nN](t))
El estado instantáneo de [S.sup.M] suele representarse en el espacio de las fases correspondiente: espacio euclídeo abstracto de tantas dimensiones como variables de estado posea el sistema. En este caso, se trata de un espacio de las fases [GAMMA] de 2nN dimensiones, donde cada punto x(t) representa un estado mecánico posible del sistema.
En el caso particular en el cual [S.sup.M] está compuesto por N partículas puntuales de masa m, el estado mecánico de cada partícula queda determinado por el valor de seis variables: tres por sus coordenadas posicionales [q.sub.i] y tres por las componentes de su momento cinético [p.sub.i] = m[q.sub.i]'. Por lo tanto, el estado mecánico instantáneo m(t) de [S.sup.M] queda definido por el valor de las 6N variables de estado:
m(t) = ([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) = ([q.sub.1](t), [q.sub.2](t) ..., [q.sub.3N](t), [p.sub.1](t), [p.sub.2](t), ..., [p.sub.3N](t))
La evolución temporal de [S.sup.M] se encuentra regida por las ecuaciones de Hamilton:
d[q.sub.i]/dt = [??]H/[??][p.sub.i]
d[p.sub.i]/dt = -[??]H/[??][q.sub.i]
donde el hamiltoniano H([q.sub.i], [p.sub.i]) representa la energía mecánica total [E.sub.M] del sistema [S.sup.M]. Las soluciones [q.sub.i](t) y [p.sub.i](t) representan la evolución temporal del sistema, dadas las condiciones iniciales [q.sub.i0] y [p.sub.i0]. Puede demostrarse que tales ecuaciones cumplen las condiciones necesarias para asegurar la existencia y unicidad de sus soluciones para cada condición inicial: (1) dado ([q.sub.i0], [p.sub.i0]), existe una única solución ([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) de dichas ecuaciones, solución que describe la evolución mecánica del sistema. En el espacio de las fases [GAMMA], tal evolución queda representada por una trayectoria que pasa por el punto [x.sub.0] = ([q.sub.i0], [p.sub.i0]) en t = 0; las condiciones de existencia y unicidad también pueden expresarse en lenguaje geométrico: para cada punto representativo del estado inicial, la trayectoria que en él se inicia existe y es única; además, dado que no hay restricciones para fijar el estado inicial del sistema [S.sup.M], las trayectorias no pueden cortarse en ningún punto, es decir, no existe ningún estado mecánico a partir del cual el sistema evolucione temporalmente según dos o más trayectorias posibles.
Dado que [S.sup.M] es un sistema aislado, H([q.sub.i], [p.sub.i]) = [E.sub.M] es una constante de movimiento del sistema que define una hipersuperficie [[GAMMA].sub.E] [sunconjunto] [GAMMA] de dimensión d - 1, donde d = 2nN es la dimensión del espacio de las fases:
[[GAMMA].sub.E] = {x = (q, p): H(q, p) = [E.sub.M]}
Por lo tanto, todas las posibles evoluciones del sistema estarán representadas por trayectorias incluidas en [[GAMMA].sub.E]. En algunas ocasiones resulta conveniente representar la evolución dinámica del sistema [S.sup.M] mediante un operador [U.sub.t] tal que:
([q.sub.i](t), [p.sub.i](t)) = [U.sub.t]([q.sub.i0], [p.sub.i0])
En el lenguaje del espacio de las fases:
x(t) = [U.sub.t][x.sub.0]
Un importante resultado que se cumple en este tipo de sistemas mecánicos --conservativos-- es el teorema de Liouville. Sea [rho](q, p) una función que define una medida [my] sobre [GAMMA] tal que:
* [my]([??]) =
* [my]([GAMMA]) = 1
* Si A [subconjunto] [GAMMA] y B [subconjunto] [GAMMA] y A [intersección] B = [??], entonces [my](A [unión] B) = [my](A) + [my](B)
La medida de un conjunto A [subconjunto] [GAMMA] se define:
[my](A) = [[integral].sub.A] [rho](q, p)d[GAMMA]
donde d[GAMMA] = d[q.sub.i]d[p.sub.i]
El teorema de Liouville demuestra que:
[??][rho]/[??]t = -[suma de]([??][rho]/[??][q.sub.i]d[q.sub.i]/dt + [??][rho]/[??][p.sub.i]d[p.sub.i]/dt) =
Esto implica que la medida [my] se preserva a través de la evolución:
[my]([U.sub.t]A) = [my](A)
Intuitivamente, si se parte de una densidad [rho] cuyo soporte se encuentra confinado en cierta región del espacio de las fases, a través de la evolución tal región inicial puede deformarse y tornarse tan "filamentosa" como para extenderse hasta zonas distantes en el espacio de las fases, pero su volumen permanece siempre constante.
2.2. Descripción termodinámica
Sea [S.sup.T] un sistema termodinámico aislado; por lo tanto, su energía termodinámica U se mantiene constante con el tiempo. El estado termodinámico M(t) de [S.sup.T] en el instante t queda definido por un conjunto de variables termodinámicas, entre las cuales pueden distinguirse dos grupos:
* Las variables [C.sub.i] consideradas independientes en tanto controlables experimentalmente: su valor es fijado externamente con independencia de la situación particular en la que se encuentra [S.sup.T]. Tales variables, que funcionan como parámetros, se denominan vínculos [constraints]: un ejemplo típico es el volumen de un sistema confinado en un recipiente rígido.
* Las variables dependientes [F.sub.i], cuyo valor se ajusta al de las primeras según ciertas relaciones termodinámicas conocidas. Ejemplos de tales variables son la presión y la densidad de un sistema.
Se define como equilibrio termodinámico al estado [M.sub.eq] para el cual las variables termodinámicas [F.sub.i] mantienen su valor constante con el tiempo: d[F.sub.ieq]/dt = 0. Se define la entropía S del sistema en el estado de equilibrio [M.sub.eq] como:
dS = dU/T
donde T es la temperatura absoluta y dU representa un incremento diferencial de energía que conduciría al sistema a través de sucesivos estados de equilibrio.
Empíricamente se observa que cualquier sistema termodinámico aislado [S.sup.T] inicialmente fuera del equilibrio, evoluciona irreversiblemente hacia el equilibrio: las variables termodinámicas [F.sub.i](t) varían su valor con el transcurso del tiempo hasta alcanzar su valor de equilibrio [F.sub.ieq], y a partir de allí mantienen su valor constante; nunca se observa la evolución inversa. En termodinámica se cuenta con distintas ecuaciones dinámicas no t-invariantes (2) (por ejemplo, la ley de Fourier de difusión del calor o la ley de Fick de difusión de materia) que describen la variación temporal irreversible del valor de las variables termodinámicas [F.sub.i](t).
El segundo principio de la termodinámica expresa de un modo general la evolución irreversible de los sistemas termodinámicos aislados. Si el sistema [S.sup.T] evoluciona desde un estado de equilibrio [M.sub.eq1] con entropía [S.sub.1] hasta un estado de equilibrio [M.sub.eq2] con entropía S2, se cumple que:
[S.sub.2] > [S.sub.1]
donde [S.sub.1] y [S.sub.2] son funciones de estado del sistema, esto es, no dependen de la particular evolución temporal que describe el sistema al pasar de [M.sub.eq1] a [M.sub.eq2].
2.3. Conexión de ambas descripciones
Bajo el supuesto de que...
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