Construcción de tríos pitagóricos consecutivos.(matemáticas)

Un trío pitagórico consiste de un triple de enteros positivos (a, b, c), de manera que [a.sup.2] + [b.sup.2] = [c.sup.2]. Si ocurre que DCM (a, b) = 1 = DCM (b, c) = DCM (a, c) decimos que (a, b, c) es un trío pitagórico primitivo. Esto último equivale a decir que DCM (a, b, c) = l. En otro artículo (Vol. 2, No. 2, 1997, págs. 172-178), se demostró que si m y n son enteros positivos tal que

(i) m > n

(ii) uno de los números m y n es par (el otro es impar)

(iii) DCM (m, n) = 1

entonces el triple (a, b, c) definido por a = 2 m n, b = [m.sup.2] - [n.sup.2], c = [m.sup.2] + [n.sup.2] es un trío pitagórico primitivo. Observe que a es un número par y ambos b y c son números impares.

Estamos interesados en determinar tríos pitagóricos consecutivos, es decir, triples de enteros positivos (p, q, r) de suerte que [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2] y al menos dos de ellos son enteros consecutivos, esto es,

(i) p, q y r son enteros consecutivos

(ii) p ó q y r son enteros consecutivos

(iii) p y q son enteros consecutivos

En el primer caso, situación (i), existe un único trío pitagórico consecutivo, el triple (3, 4, 5). La igualdad anterior garantiza que r > p, r > q pero p + q > r. De hecho, es fácil ver que r < p + q < 2 r.

Vamos a suponer que q > p. Si (p, q, r) es un trío pitagórico consecutivo, entonces

q = p + 1, r = q + 1 = p + 2

Luego, la ecuación [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2], se transforma en

[p.sup.2] + [(p + l).sup.2] = [(p + 2).sup.2]

cuya única solución entera positiva es el valor p = 3. En consecuencia, q = 4 y r = 5, así que en el caso (i), el único trío pitagórico consecutivo es (3, 4, 5).

Consideraremos ahora el caso (ii), sabemos que r > p y r > q. En esta situación

r = p + 1 ó r = q + 1

Claramente los valores de p y q pueden intercambiarse. Además, solamente

r = [m.sup.2] + [n.sup.2]

puede ser entero consecutivo con p ó q = 2 m n, que es un número par positivo. Es imposible que p ó q = [m.sup.2] - [n.sup.2] y r sean enteros consecutivos.

Supongamos entonces que (p, q, r) esun trío pitagórico consecutivo tal que r = p + 1. Entonces [p.sup.2] + [q.sup.2] = [r.sup.2], equivale a

[p.sup.2] + [q.sup.2] = [(p + 1).sup.2] = [p.sup.2] + 2 p + 1,

y de aquí resulta que

[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Como p es un entero par positivo, q es un entero impar mayor que 1, esto es, q = 2k + 1 para algún número natural k. Los valores de q son 3, 5, 7, 9, ... y para estos valores, los valores de p son 4, 12, 24, 40, ..., respectivamente. Los valores correspondientes de r son 5, 13, 25, 41,.... Luego, los tríos pitagóricos consecutivos son

(4, 3, 5), (12, 5, 13), (24, 7, 25), (40, 9, 41), ...

En este caso un trío pitagórico consecutivo ([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) en la sucesión anterior está dado por las sucesiones

[p.sub.j] = 2 j (j + 1), [q.sub.j] = 2 j + 1, [r.sub.j] = [p.sub.j] + 1

donde j = 1, 2, 3, 4, ...

Por ejemplo, si j = 10, entonces

([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) = [p.sub.10], [q.sub.10], [r.sub.10] = (220, 21, 221)

Para cualquier número natural j, DCM (j, j + 1) = 1. Esto asegura que un trío pitagórico consecutivo (p, q, r) es siempre un trío pitagórico primitivo. Por lo tanto, ([p.sub.j], [q.sub.j], [r.sub.j]) es un trío pitagórico primitivo para cada j natural.

¿Cómo se obtiene que la sucesión de números …