El problema de la ergodicidad en la mecánica estadística.(métodos de Gibbs; teoría ergódica; )

RESUMEN: El propósito del presente artículo es evaluar en qué sentido y bajo qué condiciones la ergodicidad es relevante para explicar el éxito de la mecánica estadística. Se objeta la posición de quienes sostienen que la ergodicidad es irrelevante para tal explicación, y se señala que las propiedades ergódicas desempeñan diferentes papeles en la mecánica estadística del equilibrio y en la descripción de la evolución hacia el equilibrio: es posible prescindir de la ergodicidad en el primer caso pero no en el segundo. Sobre esta base, se reformularán las definiciones de ergodicidad y mezcla, relativizándolas a la macrovariable particular cuya evolución irreversible se desea describir. Finalmente, se enfatiza la importancia de tomar en cuenta la elaboración de modelos para evaluar la utilización de los métodos de Gibbs.

PALABRAS CLAVE: irreversibilidad, Boltzmann, Gibbs, modelos

1. Introducción

Aún hoy, la mecánica estadística continúa generando profundos debates respecto de sus fundamentos teóricos. En este ámbito, uno de los problemas centrales consiste en justificar la introducción de probabilidades en un contexto clásico determinista. Precisamente para dar respuesta a este problema, Ludwig Boltzmann introdujo en 1871 la llamada "hipótesis ergódica", según la cual un sistema aislado recorre, en su evolución, todos los estados compatibles con su energía: en un sistema ergódico, cualquier punto representativo de su estado en el espacio de las fases pasa, a lo largo del tiempo, por todos los puntos de la hipersuperficie de energía constante. La idea es que, dado que en un sistema ergódico el punto representativo no queda "atrapado" en ninguna subregión de la hipersuperficie de energía constante sino que recorre toda su extensión, todos los puntos de dicha hipersuperficie son igualmente probables. De este modo, Boltzmann intentaba brindar una justificación dinámica de la equiprobabilidad sobre la región del espacio de las fases accesible al sistema.

Hoy se sabe que, por consideraciones dimensionales, la hipótesis ergódica en su formulación original no puede ser verdadera: dado que cualquier trayectoria en el espacio de las fases es unidimensional, no puede "cubrir" la hipersuperficie de energía constante cuya dimensión es superior a uno. No obstante, la idea implícita en el supuesto de Boltzmann puede conservarse mediante la hipótesis cuasiergódica que reemplaza la exigencia de que el punto representativo pase por todos los puntos de la hipersuperficie de energía constante por la exigencia de que pase por toda subregión de volumen finito incluida en la hipersuperficie de energía constante, y aclarando que la condición se cumple para los puntos pertenecientes a casi toda subregión de tal hipersuperficie excepto las subregiones de medida nula. De este modo se cumple que el punto representativo no permanezca atrapado en ninguna subregión de la hipersuperficie de energía constante, evitando la condición demasiado exigente de que pase por todos sus puntos a lo largo del tiempo.

En 1901, Josiah Willard Gibbs presentó un enfoque elegante y sistemático de la mecánica estadística que permitía derivar las relaciones entre variables termodinámicas a partir de las leyes dinámicas fundamentales sin introducir supuestos acerca de los detalles de las interacciones intermoleculares. Por su sencillez y elegancia, la formulación de Gibbs se convirtió con el tiempo en la herramienta teórica estándar en la mecánica estadística, cuya fecundidad en el tratamiento de problemas típicos de este ámbito es difícilmente cuestionable; en particular, el cálculo de los valores de equilibrio de las variables macroscópicas termodinámicas como promedios sobre el ensemble representativo es una estrategia de la cual ningún físico prescinde. Además de su función teórica original, en el enfoque gibbsiano la ergodicidad adquiere un nuevo papel al intervenir en la explicación de la evolución de los sistemas hacia el equilibrio termodinámico.

En la actualidad, la teoría ergódica se ha convertido en una teoría matemática que estudia las propiedades de los sistemas dinámicos desde una perspectiva exclusivamente formal. Sus resultados han permitido volver a analizar, con herramientas teórico-formales más precisas, el papel que cumple la ergodicidad en los fundamentos de la mecánica estadística. A la luz de estos resultados, durante las últimas décadas diversos autores comenzaron a cuestionar la relevancia explicativa que se asignaba a la ergodicidad desde la perspectiva tradicional. Este artículo se inserta en este contexto de discusión; su principal objetivo consiste en esclarecer en qué sentido y bajo qué restricciones la ergodicidad cumple un papel explicativo del éxito de la mecánica estadística de Gibbs. Para ello será necesario comenzar recordando los aspectos teóricos sobre los cuales se fundamenta la formulación gibbsiana pues, en algunos casos, el olvido de ciertas cuestiones básicas conduce a problemas conceptuales aparentemente irresolubles.